7. min 与 argmin
min 和 argmin 在机器学习中常用.max 和 argmax 同理.
7.1 min
min 是 minimal 的缩写, 用于获得集合中的最小值. 如:
min
{
3
,
1
,
9
,
8
}
=
1
\min \{3, 1, 9, 8\} = 1
min{3,1,9,8}=1. 源码: \min {3, 1, 9, 8} = 1, 即 \min 是定义好的一种符号.min 可以与向量/矩阵配合使用. 如: 给定向量
x
=
[
3
,
1
,
9
,
8
]
\mathbf{x} = [3, 1, 9, 8]
x=[3,1,9,8], 则
min
1
≤
i
≤
4
x
i
=
1
\min_{1 \le i \le 4} x_i = 1
min1≤i≤4xi=1 本质与前面的集合方式相同.min 可以和函数配合使用. 如: 令
f
(
x
)
=
x
2
+
x
+
1
f(x) = x^2 + x + 1
f(x)=x2+x+1, 则
min
−
1
≤
x
≤
1
f
(
x
)
\min_{-1 \le x \le 1} f(x)
min−1≤x≤1f(x) 表示
x
x
x 取
[
−
1
,
1
]
[-1, 1]
[−1,1] 区间的任意数, 都会获得一个函数值, 这些函数值构成了一个集合 (重复元素只算一次), 最终取最小的元素. 源码: \min_{-1 \le x \le 1} f(x), 其中 \le 表示 less than or equal, 也可以写作 \leq.
7.2 argmin
argmin 是argument minimal 的缩写, 用于获得使函数取最小值的参数. 我也不清楚为啥用 argument 而不是 parameter.\arg\min 总是可用的. 如果你的 Latex 模板不支持 \argmin, 可以在 tex 文件头部加上 \DeclareMathOperator*{\argmin}{argmin}argmin 后面不能再直接跟集合, 如
arg min
{
3
,
1
,
9
,
8
}
\argmin \{3, 1, 9, 8\}
argmin{3,1,9,8} 没法计算.argmin 可以与向量/矩阵配合使用, 这时参数可以是向量下标. 如: 给定向量
x
=
[
3
,
1
,
9
,
8
]
\mathbf{x} = [3, 1, 9, 8]
x=[3,1,9,8], 则
arg min
1
≤
i
≤
4
x
i
=
2
\argmin_{1 \le i \le 4} x_i = 2
1≤i≤4argminxi=2 的值是使得
x
i
x_i
xi 最小的参数值, 即下标
i
i
i 的值. 给定矩阵
X
=
[
3
2
9
8
7
6
1
4
]
\mathbf{X} = \left[\begin{array}{llll}3 & 2 & 9 & 8\\ 7 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right]
X=[37269184] 源码: \mathbf{X} = \left[\begin{array}{llll}3 & 2 & 9 & 8\ 7 & 6 & 1 & 4 \end{array}\right]. 则
arg min
i
,
j
x
i
j
=
(
2
,
3
)
\argmin_{i, j} x_{ij} = (2, 3)
i,jargminxij=(2,3) 的值是使得
x
i
j
x_{ij}
xij 最小的参数值, 即
i
=
2
i = 2
i=2,
j
=
3
j = 3
j=3. 注意这是返回了两个数据, 在 Java 里面要专门处理, 但 Python 可以直接支持.argmin 与函数配合最常见. 如: 令
f
(
x
)
=
x
2
+
x
+
1
f(x) = x^2 + x + 1
f(x)=x2+x+1, 则
arg min
−
1
≤
x
≤
1
f
(
x
)
=
−
1
2
\argmin_{-1 \le x \le 1} f(x) = -\frac{1}{2}
−1≤x≤1argminf(x)=−21 表示
x
x
x 取
−
1
2
-\frac{1}{2}
−21 时函数取最小值
3
4
\frac{3}{4}
43. 只是这个最小值已经没人关心.
7.3 作业
解释 推荐系统: 问题、算法与研究思路 2.1 中的优化目标
min
∑
(
i
,
j
)
∈
Ω
(
f
(
x
i
,
t
j
)
−
r
i
j
)
2
\min \sum_{(i, j) \in \Omega} (f(\mathbf{x}_i, \mathbf{t}_j) - r_{ij})^2
min(i,j)∈Ω∑(f(xi,tj)−rij)2 各符号及含义.